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                                Differentialformen und Oberflächenintegrale

                                 Gauss und Stokes im Zweidimensionalen

Wenn man den Differentialformenkalk ü l und das Lebesgue Integral als bekannt voraussetzt , kann man viele wichtige Aussagen der Vektoranalysis auf eine einzige Schl ü sselformel , n ä mlich den Integralsatz von Stokes zur ü ckf ü hren :                                                                                       dA w   =   A dw dabei ist w eine Differentialform und dw die zu ihr gehoerige Ableitung A ist ein Kompaktum und dA ist der Rand des Kompaktums , welcher im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird. z.B. gilt für die zur Differentialform w   =   f gehörige Ab l eitung dw   =   df   =   f '   dx   : f ( b )     f ( a )   =   a,b f   =   d a,b f   =   d a,b w   =   a,b dw   =   a b f ' ( x ) dx das ist der Hauptsatz der Integralrechnung im Eindimensionalen Für die Differentialform     w   =   fdx   +   gdy ist ihre zug.   Ableitung dw   =   ( δ g δ x δ f δ y ) dxdy Damit hat man als Ergebnis den     klassischen   Satz von Stokes im Z w eidimensionalen   : dA fdx   +   gdy   =   dA w   =   A dw   =   A ( δ g δ x δ f δ y ) dxdy   =   A rot ( f,g ) dxdy   =   A rot ( f,g ) n   dF         Mit der Differentialform w   =   fdy     gdx und deren Ableitung dw   =   ( δ f δ x + δ g δ y ) dxdy erhält man den Satz von Gauss im Zweidimensionalen : dA ( f,g ) n   ds   =   dA fdy gdx   =   dA w   = A dw   =   A ( δ f δ x + δ g δ y ) dxdy   =   A div ( f,g ) dxdy