Differentialformen und die Sätze von Gauss und Stokes im Zweidimensionalen

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                       Wenn man den Differentialformenkalkül und das Lebesgue Integral als bekannt voraussetzt,
                       kann man viele wichtige Aussagen der Vektoranalysis auf eine einzige Schlüsselformel,
                       nämlich den Integralsatz von Stokes zurückführen :

                                                     w =  dw
                                                                                dA                                            A

                                                             
dabei ist ω eine Differentialform und dw die zu ihr gehörige Ableitung.
                             
A ist ein Kompaktum und dA ist der Rand des Kompaktums,
                    
          welcher im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird.
     





                        z.B. gilt für die zur Differentialform w = f gehörige Ableitung dω = df = f ' dx :


                                                                                                                                                                                                                                                                                          b

                                           
       f(b) - f(a)  = 
f   =   f   =  ω  =  ∫=  ∫ f '(x) dx
                                                                                          
                                                         {a,b}                d[a,b]            
d[a,b]            [a,b]                     a

                                    
das ist der Hauptsatz der Integralrechnung im Eindimensionalen.
                             



                            

                      Für die Differentialform  w = fdx + gdy ist ihre zug. Ableitung:  
dω = (∂g/∂x - ∂f/∂y)dxdy
                                                                                                                                                                                                                                                             
                                
            Damit  hat man als Ergebnis den ( klassischen ) Satz von Stokes im Zweidimensionalen:

                                  
 fdx + gdy =
w  =
dw = ∫∫ (g/∂x - ∂f/∂y)dxdy = ∫∫ rot(f,g)dxdy = ∫∫ rot (f,g)ndF
                     
dA                                                                dA                                                                   A                                                                                                                                                                                           A

                             dabei ist n=(0,0,1) der Normalenvektor und dF das Oberflächenelement dF = dxdy



                          


                     Mit
 der Differentialform w = fdy - gdx und deren Ableitung dw = ( ∂f/∂x + ∂g/∂y )dxdy

                            erhält man den Satz von Gauss im Zweidimensionalen :

                       (f,g)nds fdy - gdx =
ω = = ∫∫ ( ∂f/∂x + ∂g/∂y ) dxdy = ∫∫ div (f,g) dxdy
                             
dA                        dA                                            dA                  A                    A                                                                                                              


                              dabei ist n =( n¹, n² ) der Normalenvektor und ds das Bogenelement