Lösen von linearen Gleichungssystemen mit einem verbesserten Additionsverfahren.

                    Frage     :  Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten ?

                    Antwort :  Man mache aus dem ursprünglichen Gleichungssystem ein Gleichungssystem

                                     mit nur noch zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

                                     und benutze dazu die folgende Gebrauchsanweisung:

                                    SUCHE ZUNÄCHST DIE SPALTE MIT DEN WENIGSTEN EINTRÄGEN:

Fall 1:          alle drei Spalten sind voll besetzt:

                      3x +2y +5z =  5

                     -3x - 4y - 2z = 10     

                      3x + 5y +3z = 12 

                 
                      man addiere die rote und die grüne Zeile und erhält:                   -2y + 3z = 15

                      man addiere die grüne und die schwarze Zeile und erhält :             y  +  z = 22 | ·2

                      so entsteht ein neues Gleichungssystem mit nur noch zwei Gleichungen

                      und nur noch zwei Unbekannten :

                     -2y + 3z = 15

                      2y + 2z = 44

                      Dieses Gleichungssystem löst man durch das Additionverfahren, also durch

                      Addition der beiden letzten Gleichungen :  5z = 59,      also  z = 59/5.

                      Der Rest ist Einsetzen. 

 Fall 2:           irgendeine Spalte ist nur zweifach  besetzt

                      (wir betrachten hier der Einfachheit halber nur die erste Spalte) :

                     und addieren die erste und zweite Zeile :

                      3x + 2y        =  5

                     -3x - 4y - 2z  = 10   

                             5y + 3z = 12              

                       durch Addition der beiden roten Zeilen entsteht :                              -2y - 2z = 15  |·3

                       die Gleichung, die nicht bearbeitet worden ist, wird übernommen      5y + 3z = 12 |·2

                       so entsteht wieder ein neues Gleichungssystem mit nur noch zwei Gleichungen

                       und nur noch zwei Unbekannten:

                       -6y - 6z = 45

                      10y + 6z = 24

                       durch Addition der beiden Zeilen erhält man:   

                       4y = 69,     also y= 69/4.

                       Der Rest ist wieder Einsetzen.

Fall 3:          irgendeine Spalte ist nur einfach besetzt (also hier die erste Spalte) :

                     3x + 2y        =  5

                           - 4y - 2z = 10                                                    

                             5y + 3z = 12

                      wir betrachten nun die beiden letzten Zeilen, in denen x nicht vorkommt :

                      -4y - 2z = 10   | ·3

                       5y + 3z = 12   | ·2

                       es entsteht also wieder ein neues Gleichungssystem mit nur noch zwei

                       Gleichungen und zwei Unbekannten:

                      -12y - 6z =  30

                       10y + 6z = 24 

                      Durch Addition der letzten Zeilen erhält man :       -2y = 54,  also y = -27.         

                      Der Rest besteht wieder aus Einsetzen.