$$\begin{array}{l}\\ \\ \\ \mathbf{Dachprodukt\; und\; Ableitungen\; von\; Differentialformen}\\ \\ \\ \mathbf{Ableitung\; von\; Differentialformen\; 0.ter\; Ordnung}\mathbf{:}\\ \\ \mathbf{f}\mathbf{ü}\mathbf{r\; die\; Differentialform\; w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{ist\; die\; zugeh}\mathbf{ö}\mathbf{rige\; Ableitung}\\ \mathbf{dw}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{df}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathbf{f}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{dx}\\ \\ \\ \\ \mathbf{Ableitung\; von\; Differentialformen\; 1.ter\; Ordnung}\mathbf{:}\\ \\ \mathbf{f}\mathbf{ü}\mathbf{r\; die\; Differentialform\; w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{fdx}\mathbf{+}\mathbf{gdy\; gilt}\mathbf{:}\\ \mathbf{dw}\mathbf{ }\mathbf{=}\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{g}}{\mathrm{\partial }\mathbf{x}}\mathbf{-}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{f}}{\mathrm{\partial }\mathbf{y}}\right)\mathbf{dxdy} \; \\ \begin{array}{r}w=\mathrm{fdx}+\mathrm{gdy}\Rightarrow \\ \\ \mathrm{dw}=\mathrm{df}ˆ\mathrm{dx}+\mathrm{dg}ˆ\mathrm{dy}\\ \\ =(\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{dy})ˆ\mathrm{dx}+(\frac{\partial g}{\partial x}\mathrm{dx}+\frac{\partial g}{\partial y}\mathrm{dy})ˆ\mathrm{dy}\\ \\ =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{dx}ˆ\mathrm{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{dy}ˆ\mathrm{dx}+\frac{\partial g}{\partial x}\mathrm{dx}ˆ\mathrm{dy}+\frac{\partial g}{\partial y}\mathrm{dy}ˆ\mathrm{dy}\\ \\ =\frac{\partial g}{\partial x}\mathrm{dx}ˆ\mathrm{dy}-\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{dx}ˆ\mathrm{dy}=(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y})\mathrm{dxdy}\\ \\ \mathrm{dabei}\mathrm{wurden}\mathrm{die}\mathrm{üblichen}\mathrm{Rechenregeln}\mathrm{und}\\ \mathrm{Vereinbarungen}\mathrm{für}\mathrm{Dachprodukte}\mathrm{benutzt}:\\ \mathrm{dxdx}=\mathrm{dx}ˆ\mathrm{dx}=\mathrm{dy}ˆ\mathrm{dy}=\mathrm{dydy}=0\\ \mathrm{dxdy}=\mathrm{dx}ˆ\mathrm{dy}=-\mathrm{dy}ˆ\mathrm{dx}=-\mathrm{dydx}\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \mathbf{f}\mathbf{ü}\mathbf{r\; die\; Differentialform\; w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{fdx}\mathbf{+}\mathbf{gdy}\mathbf{+}\mathbf{hdz\; ist\; die\; Ableitung}:\\ \\ \mathbf{dw}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{g}}{\mathrm{\partial }\mathbf{x}}\mathbf{-}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{f}}{\mathrm{\partial }\mathbf{y}}\mathbf{)}\mathbf{dxdy}\mathbf{+}\mathbf{(}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{h}}{\mathrm{\partial }\mathbf{y}}\mathbf{-}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{g}}{\mathbf{\partial }\mathbf{z}}\mathbf{)}\mathbf{dydz}\mathbf{+}\mathbf{(}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{z}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{h}}{\mathbf{\partial }\mathbf{x}}\mathbf{)}\mathbf{dzdx}\\ \\ \\ \\ \\ \mathbf{Allgemein\; gilt\; f}\mathbf{ü}\mathbf{r\; alle\; Differentialformen\; 1.ter\; Ordnung}\mathbf{,}\\ \mathbf{also\; f}\mathbf{ü}\mathbf{r\; alle\; Differentialformen\; der\; Gestalt}\\ \\ \mathbf{w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\sum }_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{f}}_{\mathbf{i}}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{dw}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\sum }_{\mathbf{i}\mathbf{<}\mathbf{j}}\mathbf{(}\frac{\partial {\mathbf{f}}_{\mathbf{i}}}{{\partial \mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}\mathbf{-}\frac{\partial {\mathbf{f}}_{\mathbf{i}}}{{\partial \mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}\mathbf{)}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}\\ \\ \\ \\ \\ \mathbf{Ableitung\; von\; Differentialformen\; 2.ter\; Ordnung}\mathbf{:}\\ \\ \mathbf{f}\mathbf{ü}\mathbf{r\; die\; Differentialform\; w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{fdydz}\mathbf{+}\mathbf{gdzdx}\mathbf{+}\mathbf{hdxdy\; gilt}\mathbf{:}\\ \\ \mathbf{dw}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{g}}{\mathbf{\partial }\mathbf{y}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{h}}{\mathbf{\partial }\mathbf{z}}\mathbf{)}\mathbf{dxdydz}\mathbf{ }\mathbf{ }\\ \\ \\ \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}\\ \\ \\ \\ \\ \mathbf{Ableitung\; von\; Differentialformen\; der\; Ordnung\; n}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{:}\\ \\ \\ \mathbf{Da\; alle\; Differentialformen\; der\; Ordnung\; n}\mathbf{-}\mathbf{1\; die\; Gestalt}\\ \\ \mathbf{w}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\sum }_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}^{\mathbf{i}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{f}}_{\mathbf{i}}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{(}\widehat{\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}\mathbf{)}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}\mathbf{}\mathbf{}\\ \mathbf{haben,\; wobei}\mathbf{ }\mathbf{ˆ}\mathbf{derAuslassungsoperator\; ist, gilt\; für\; ihre\; Ableitung\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\mathbf{ }\\ \\ \mathbf{dw}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{\sum }_{\mathbf{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}\frac{\partial {\mathbf{f}}_{\mathbf{i}}}{{\partial \mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}\mathbf{)}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{d}{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}\\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$$